基础数学示例

$\frac{a^{2} - 4 a - 21}{a^{2 - 6} a + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对 $a^{2} - 4 a - 21$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 21$ ，和为 $- 4$ 。

$- 7, 3$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{a^{2 - 6} a + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2

化简分母。

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解题步骤 2.1

通过指数相加将 $a^{2 - 6}$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 2.1.1

将 $a^{2 - 6}$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{a^{2 - 6} a^{1} + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{a^{2 - 6 + 1} + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.1.2

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{a^{- 4 + 1} + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.1.3

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{a^{- 3} + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.2

将 $a^{- 3}$ 重写为 ${(a^{- 1})}^{3}$ 。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{{(a^{- 1})}^{3} + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.3

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{{(a^{- 1})}^{3} + 2^{3}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = a^{- 1}$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{(a^{- 1} + 2) ({(a^{- 1})}^{2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{(\frac{1}{a} + 2) ({(a^{- 1})}^{2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a}{a}$ 。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{(\frac{1}{a} + \frac{2 a}{a}) ({(a^{- 1})}^{2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} ({(a^{- 1})}^{2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.4

将 ${(a^{- 1})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.5.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (a^{- 1 \cdot 2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.4.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (a^{- 2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{a} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.7

乘以 $- \frac{1}{a} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.5.7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - 2 \frac{1}{a} + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.7.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{a}$ 。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} + \frac{- 2}{a} + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2}{a} + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2}{a} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.10

要将 $- \frac{2}{a}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a}{a}$ 。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2}{a} \cdot \frac{a}{a} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.11

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $a^{2}$ 的形式。

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解题步骤 2.5.11.1

将 $\frac{2}{a}$ 乘以 $\frac{a}{a}$ 。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2 a}{a \cdot a} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.11.2

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2 a}{a^{1} a} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.11.3

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2 a}{a^{1} a^{1}} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.11.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2 a}{a^{1 + 1}} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.11.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2 a}{a^{2}} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.12

在公分母上合并分子。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1 - 2 a}{a^{2}} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.13

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a^{2}}{a^{2}}$ 。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1 - 2 a}{a^{2}} + \frac{4 a^{2}}{a^{2}})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 2.5.14

在公分母上合并分子。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} \cdot \frac{1 - 2 a + 4 a^{2}}{a^{2}}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 3

将 $\frac{1 + 2 a}{a}$ 乘以 $\frac{1 - 2 a + 4 a^{2}}{a^{2}}$ 。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a \cdot a^{2}}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 4

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $a$ 乘以 $a^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{1} a^{2}}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{1 + 2}}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

解题步骤 5

使用 AC 法来对 $a^{2} - 2 a - 35$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 35$ ，和为 $- 2$ 。

$- 7, 5$

解题步骤 5.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}} \cdot \frac{a - 4}{(a - 7) (a + 5)}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

约去 $a - 7$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

约去公因数。

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}} \cdot \frac{a - 4}{(a - 7) (a + 5)}$

解题步骤 6.1.2

重写表达式。

$\frac{a + 3}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}} \cdot \frac{a - 4}{a + 5}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{a + 3}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}}$ 乘以 $\frac{a - 4}{a + 5}$ 。

$\frac{(a + 3) (a - 4)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}} (a + 5)}$

解题步骤 7

从 $\frac{(a + 3) (a - 4)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}} (a + 5)}$ 中分解出因数 $\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}$ 。

$\frac{a^{3}}{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})} \cdot \frac{(a + 3) (a - 4)}{a + 5}$

解题步骤 8

将 $\frac{a^{3}}{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}$ 乘以 $\frac{(a + 3) (a - 4)}{a + 5}$ 。

$\frac{a^{3} (a + 3) (a - 4)}{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2}) (a + 5)}$

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